Kalkulus Integral Parsial

Rumus Integral Matematika- Dalam matematika ada namanya turunan ada juga namanya integral. Lalu, apa itu integral? Ia adalah lawan dari turunan atau diferensiasi. Sobat di Kelas XII pasti akan mendapatkan materi matematika ini. Integral juga dikenal sebagai antidiferensial dan dilambangkan dengan bentuk :

∫ (integral)

Sebuah fungsi F(X) disebut sebagai integral dari f(x) selagi apabila turunan pertama F'(x) = f(x). Jadi sebuah persamaan jika diturunkan kemudian diintegralkan akan mengahasilkan persamaan seperti bentuk awal.

Contoh Sobat punya persamaan f(x) = x2 + 2x, ketika persamaan itu di turunakan maka akan menghasilkan f'(x) = 2x + 2. Dengan menggunakan integral akan dapat mengembalikan bentuk 2x + 2 ke bentuk x2 + 2x. Jika turunan menurunkan 1 tingkat eksponen dari x2 ke x maka integral akan mengembalikan tingkat eksponen satu tingkat lebih tinggi, misal x menjadi x2, x2menjadi x3, dan seterusnya. Ada dua macam integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral Tak Tentu

Yang dinamakan integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas atas dan bawah. Biasanya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak memiliki daerah asal dan tidak memiliki daerah hasil

∫ f(x) dx = F(x) + c

Integral Tentu

Pondasi dasar tentang integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh Newton dan Leibinz yang kemudian dieperkenalkan secara modern oleh Riemann. Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Dalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

Mengenal Sifat dan Rumus Integral

berikut ini sifat-sifat dari operasi integral

Rumus Dasar Integral

selain rumus dasar di atas, sobat bisa menggunakan rumus cepat lagi praktis

Integral Fungsi Aljabar

Jika ada fungsi aljabar yang diintegralkan maka sobat bisa menggunakan rumus berikut:

contoh, jika sobat punya aljabar 2x + 5 ketika diitegralkan akan mendapatkan hasil sebagai berikut:

Integral Fungsi Eksponen

contoh:

∫ 3e4x dx Kita misalkan 4x = u sehingga persamaan di atas menjadi
∫ 3e4x dx = ∫ 3eu du/4
= 3/4 ∫ 3eu du
= 3/4 eu + c
= 3/4 e4x + C

Intgeral Fungsi Trigonometri

berikut rumus integral dari trigonometri yang sering dipakai dalam soal-soal matematika.

a. Integral  dengan variabel sudut x atau sudut ax

∫ sin x dx = – cos x + c
∫ cos x dx =  sin x + c
∫ sin ax dx = – (1/a) cos ax + c
∫ cos ax dx = (1/a) sin ax + c
∫ secs2 x dx = tan x + c

b. Integral dengan Bentuk Pangkat

HOME

RUMUS MATEMATIKA

Rumus Integral Matematika

Rumus Integral Matematika

 rumus hitung No Comments

Rumus Integral Matematika- Dalam matematika ada namanya turunan ada juga namanya integral. Lalu, apa itu integral? Ia adalah lawan dari turunan atau diferensiasi. Sobat di Kelas XII pasti akan mendapatkan materi matematika ini. Integral juga dikenal sebagai antidiferensial dan dilambangkan dengan bentuk :

∫ (integral)

Sebuah fungsi F(X) disebut sebagai integral dari f(x) selagi apabila turunan pertama F'(x) = f(x). Jadi sebuah persamaan jika diturunkan kemudian diintegralkan akan mengahasilkan persamaan seperti bentuk awal.

Contoh Sobat punya persamaan f(x) = x2 + 2x, ketika persamaan itu di turunakan maka akan menghasilkan f'(x) = 2x + 2. Dengan menggunakan integral akan dapat mengembalikan bentuk 2x + 2 ke bentuk x2 + 2x. Jika turunan menurunkan 1 tingkat eksponen dari x2 ke x maka integral akan mengembalikan tingkat eksponen satu tingkat lebih tinggi, misal x menjadi x2, x2menjadi x3, dan seterusnya. Ada dua macam integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral Tak Tentu

Yang dinamakan integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas atas dan bawah. Biasanya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak memiliki daerah asal dan tidak memiliki daerah hasil

∫ f(x) dx = F(x) + c

Integral Tentu

Pondasi dasar tentang integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh Newton dan Leibinz yang kemudian dieperkenalkan secara modern oleh Riemann. Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Dalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

Mengenal Sifat dan Rumus Integral

berikut ini sifat-sifat dari operasi integral

Rumus Dasar Integral

selain rumus dasar di atas, sobat bisa menggunakan rumus cepat lagi praktis

Integral Fungsi Aljabar

Jika ada fungsi aljabar yang diintegralkan maka sobat bisa menggunakan rumus berikut:

contoh, jika sobat punya aljabar 2x + 5 ketika diitegralkan akan mendapatkan hasil sebagai berikut:

Integral Fungsi Eksponen

contoh:

∫ 3e4x dx Kita misalkan 4x = u sehingga persamaan di atas menjadi
∫ 3e4x dx = ∫ 3eu du/4
= 3/4 ∫ 3eu du
= 3/4 eu + c
= 3/4 e4x + C

Intgeral Fungsi Trigonometri

berikut rumus integral dari trigonometri yang sering dipakai dalam soal-soal matematika.

a. Integral  dengan variabel sudut x atau sudut ax

∫ sin x dx = – cos x + c
∫ cos x dx =  sin x + c
∫ sin ax dx = – (1/a) cos ax + c
∫ cos ax dx = (1/a) sin ax + c
∫ secs2 x dx = tan x + c

b. Integral dengan Bentuk Pangkat

∫sinn x. cos x dx = (1/(n+1)) sinn+1 x + c
∫ cosn x.sin x dx = (-1/(n+1)) cosn+1 + c
∫ sinn x dx = ∫ sinn-1 x. sin x dx (jika n ganjil)
∫ cosn x dx = ∫ cosn-1x . cos x dx (jika n ganjil)
∫ sinn x dx = ∫ (sin2 x)n/2 dx (jika n genap)
∫ cosn x dx = ∫ (cos2 x)n/2 dx (jika n genap)

baca juga rumus-rumus trigonometri

Metode-Metode Integral

Ada dua metode integral yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal. Mereka adalah metode substitusei (penggantian) dan metode parsial. Berikut penjelasannya

a. Metode Substitusi

Untuk mengintegralkan sebuah alajabar sobat bisa menggunakan metode penggantian atau substitusi. Misalkan u = g(x) dengan g(x) merupkan fungsi yang mempunyai turunan maka

∫ f(g(x)).g'(x) = ∫ f(u).du = F(u) + c

biar lebih paham rumusnya yuk simak contoh soal berikut:

Kunci dari pemecahan soal di atas adalah permisalan  1/x kita misalkan dengan u. Jadi untuk memecahkan soal-soal integral dengan cara ini sobat harus pandai-pandai membuat permisalan. Berikut contoh lainnya:

kita misalkan 3x2 + 9x -1 sebagai u
sehingga du = 6x + 9
2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

sekranga kita ganti kembali u dengan 3x2 + 9x -1 sehingga didapatkan jawaban:

b. Metode Parsial

Teknik atau metode lain yang bisa digunakan untuk melakukan integral adalah dengan metode parsial. Teknik ini biasanya digunakan untuk mencari suatu fungsi yang tidak dapat dicari integralnya jika menggunakan cara substitusi seperti pada huruf a di atas.

Jika u = f(x) dan v = g(x) maka berlaku rumus integral parsial:

∫ u.dv = u.v – ∫ v. du

Contoh Soal:

Berapa hasil dari ∫ x sin x ?
kita misalkan u = x maka du = dx
dv = sin x maka v = -cos x
(lihat rumus integral trigonometri sebelumnya)
kita masukkan ke rumus

∫ u.dv = u.v – ∫ v. du
∫ x sin x = x (-cos x) – ∫ (-cos x) dx = -x . cos x + sin x + c

Penggunaan Trigonometri Untuk Mencari Luas Daerah di Bawah Kurva dan Volume Benda Putar

Salah satu penggunaan integral adalah untuk mencari luas daerahh di bawah 1 atau lebih kurva. Berikut kami rangkumkan ilustrasi gambar berikut rumusnya:

Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x

untuk mencari luas di bawah sebuah kurva sobat cukup mengintegralkan persamaan garis tersebut kemudian memasukkan nilai x.

Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva dan Sumbu X

b. Volume Benda Putar

Selain bisa digunakan untuk menghitung luasan di bawah kurva, integral bisa juga digunakan untuk mencari volume benda putar. Volume benda putar adalah volume benda yang terjadi ketika sebuah bidang dua dimensi diputar menurut sumbu tertentu (x atau y).

Read More

Tipe Kepribadian Di Lingkungan Kampus

1. Plegmatis

Ini adalah jenis kepribadian individu yang selalu cinta damai dengan menjadi netral dalam segala kondisi konflik tanpa ingin memilih kubu. Dalam kehidupan sosialnya, individu plegmatis akan lebih senang menjadi pendengar yang baik daripada sebagai pelaku cerita. Manusia berkepribadian plegmatis mempunyai selera humor yang bagus walau sarkatik (sifat humor yang menyinggung atau mengejek), menyukai keteraturan, mudah bergaul, serta suka mencari jalan pintas. Individu ini juga tidak suka dipaksa, suka menunda sesuatu hal dan memiliki antusias yang kurang terhadap hal-hal baru.

2.Melakonis

Individu dengan pribadi melankolis adalah tipe manusia yang memiliki sifat analitis, suka memerhatikan orang lain, perfeksionis, hemat, tidak begitu menyukai perhatian, serius, artistik, sensitif dan senantiasa rela berkorban. Hanya saja tipe pribadi melankolis biasanya berfokus pada sebuah cara atau proses ketimbang tujuan. Mereka yang melankolis pun kurang bisa menyuarakan opininya, seringkali juga memandang masalah dari sisi buruknya, serta kurang mampu bersosialisasi dengan baik. Banyak orang yang melankolis berbakat menjadi seorang pengusaha yang hebat dan sukses.

3.Koleris

Manusia dengan kepribadian koleris memiliki kemampuan memimpin yang bagus karena bisa dengan mudah mengambil sebuah keputusan. Orang-orang koleris memiliki tujuan yang baik untuk ke depannya serta selalu produktif dan dinamis. Koleris pun adalah pribadi yang menyukai kebebasan dan selama hidupnya akan selalu bekerja keras. Hanya saja, tipe koleris suka memerintah karena sifat kepemimpinannya, susah untuk mengalah, menyukai pertentangan, mudah terpancing emosi, tidak mudah untuk disuruh sabar, dan termasuk tipe yang keras kepala karena kemauannya yang keras.

4.Sanguin

Manusia dengan jenis kepribadian sanguin adalah mereka yang memiliki sifat sedikit seperti anak-anak. Sanguin biasanya tidak menemukan masalah dalam kehidupan sosialnya karena mudah bergaul dan akrab walau dengan orang yang baru dikenal. Sanguin sangat suka bicara, dan gampang untuk mengikuti sebuah kelompok. Di balik sisi positifnya, individu bertipe kepribadian sanguin memang agak susah untuk berkonsentrasi pada suatu hal, ia juga egois, pelupa, suka terlambat, dan seringkali membuat satu hal kecil menjadi besar.

Sanguin yang selalu ikut tren juga mempunyai tawa atau suara yang berlebihan sehingga kadang agak mengganggu. Walau ia bukan menjadi seorang pemimpin dalam sebuah kelompok, namun sanguin biasanya ingin tampil lebih mencolok ketimbang anggota kelompok lainnya.

5.Ekstrovert

Jenis-jenis kepribadian manusia satu ini diketahui memiliki fokus terhadap dunia luar. Orang-orang dengan kepribadian ekstrovert biasanya lebih terbuka. Ekstrovert dapat secara lebih mudah bergaul dan berkomunikasi dengan orang lain sehingga orang lain pun akan merasa nyaman dengan tipe ekstrovert. Daripada berpikir, tipe ekstrovert akan mengutamakan membuat tindakan sehingga seringkali lebih memilih bertindak dulu baru setelah itu berpikir.

Tipe ekstrovert lebih memilih menceritakan ketimbang diceritakan, mereka suka beraktivitas, supel, mudah bekerja sama dalam sebuah kerja kelompok, percaya diri yang baik dan bahkan berlebihan, dan selalu aktif.

6.Reformer

Individu dengan kepribadian jenis ini memiliki idealisme yang tinggi dan begitu rasional. Mereka tidak akan mudah menentang aturan karena mereka akan selalu menaati setiap aturan yang ada. Tipe reformer pun berjiwa kuat sehingga mampu menentukan mana hal yang dianggap salah dan mana hal yang benar. Orang dengan tipe kepribadian ini selalu ingin membuat orang lain lebih baik dengan cara mengubah pola-pola mereka yang salah. Terkadang, tipe reformer sangat perfeksionis dan kritis.

Read More

Aljabar Linear

Bab I.

Matrik dan Operasi-Operasinya.

Definisi : 

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matrriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A,B,C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya ( matriks dengan m baris dan n kolom) adalah 

dan seterusnya.

Jenis-Jenis matriks

ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :

a. Matriks Bujur Sangkar.

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal dengan istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu :

b. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

 

c. Matriks nol. 

    Matriks Nol merupakan matriks yang semua elemenya bernilai nol.

d. Matriks Segitiga.

    Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elem dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini,juga tidak disyaratkan bahwa elemne diagonal harus bernilai tak nol.

 

Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangakan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.

e. Matriks Identitas

    Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1.

f. Matriks dalam bentuk  eselon baris tereduksi.

   Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat-syarat berikut :

   1. Untuk semua baris yang elem-elemenya tak nol, maka bilangan pertama pada baris tersebut

       haruslah = 1 ( disebut satu utama ).

   2.Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih

      bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.

   3.Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah

     matriks

   4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.

 Operasi-operasi Matriks

a. Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.

Aturan penjumlahan.

Dengan penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks.

 

Read More